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venerdì 21 aprile 2017

Si può dimostrare l'impossibile?

Seguendo le tracce di un'interessante GIF animata vista su Facebook, la quale sembrerebbe dimostrare per vie geometriche l'assurdo che 64 è uguale a 65...


... ho trovato su mathblag, il blog di David Radcliffe che purtroppo non viene più aggiornato da un paio d'anni, un post dal titolo A Paradoxical Dissection (Una dissezione paradossale) che chiarisce cosa c'è sotto: ecco qui di seguito la relativa traduzione.
È possibile dissezionare un quadrato 8×8 e riorganizzare i pezzi in modo tale da formare un rettangolo 13×5? Il buonsenso indica che questo non si può fare, perché l'area del quadrato è 64, mentre l'area del rettangolo è 65. Tuttavia questa animazione sembra dimostrare che la cosa è possibile. Come si spiega?
Dal momento che il rettangolo è più grande rispetto al quadrato, i pezzi non dovrebbero adattarsi in modo esatto, ma dovrebbe esserci uno spazio vuoto. Nell'immagine precedente lo spazio è stato nascosto facendo delle modifiche molto piccole alle forme. Quando le forme vengono disegnate con precisione, lo spazio vuoto si rivela.
Ci si potrebbe chiedere come facciamo a fidarci del fatto che questo disegno sia accurato, perché anche il disegno precedente sembrava abbastanza convincente. Ed ecco che la matematica ci viene in aiuto! Si noti che la pendenza dell'ipotenusa del triangolo verde è 3/8, ma la pendenza del lato più lungo del trapezoide blu è 2/5. Dal momento che 3/8 è minore di 2/5, esiste un piccolo spazio vuoto fra il triangolo verde e il trapezoide blu.
Per inciso, il fatto che 3/8 sia molto prossimo a 2/5 non è una coincidenza, ma è basato sulle proprietà dei numeri di Fibonacci. Si noti che 2, 3, 5 e 8 sono numeri di Fibonacci consecutivi. Si può creare una dissezione paradossale simile usando quattro numeri di Fibonacci consecutivi qualsiasi.
Ma un dubbio rimane. Lo spazio vuoto sembra abbastanza piccolo: come facciamo a sapere che ha area 1? Ci sono molti modi per verificarlo, ma uno dei più interessanti consiste nell'usare il teorema di Pick. Esso afferma che, se un poligono viene disegnato su una griglia in modo tale che tutti i vertici si trovino sui punti della griglia (punti con coordinate intere), allora l'area è uguale a i + b/2 – 1, dove i è il numero di punti della griglia interni e b è il numero di punti della griglia sul contorno. In questo caso sul contorno ci sono quattro punti della griglia: (0,0), (8,3), (13,5) e (5,2). All'interno non ci sono punti della griglia, per cui l'area è 0 + 4/2 – 1 = 1.
Sembra che questa dissezione sia dovuta a Sam Loyd. Il paradosso dell'area scomparsa è una variante famosa che si basa sulla dissezione di un triangolo rettangolo invece di un quadrato.

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