Come entrare in loop col cervello

Dopo quello che ho condiviso giorni fa, ecco un altro quesito "sgraffignato" dalla pagina Facebook del CICAP, la quale a sua volta ha preso l'ispirazione da Davide Passaro di Math is in the air: blog divulgativo sulla matematica applicata.

Scegliendo a caso una delle seguenti risposte a questa domanda, qual è la probabilità di rispondere correttamente?

1. 50%
2. 25%
3. 0%
4. 25%

Riflettici un po' su, forza...
... ma se per caso il tuo cervello dovesse entrare in un loop infinito, tìratene fuori e prosegui nella lettura! :-)

Si tratta di un costrutto autoreferenziale: la domanda s'interroga su se stessa, ed in questo senso il problema è non solo probabilistico ma anche logico. Chiaro che, se non si accetta questo tipo di costruzione logica, la risposta 1/4 è giocoforza corretta, ma non significativa.
Approcci ricorsivi di questo tipo, che sembrano apparentemente illogici, hanno invece risvolti utili anche in applicazioni pratiche.
Per citare un esempio abbastanza semplice e solo matematico, possiamo ricorrere alla famosa serie di Fibonacci. Se chiedessi di indicare un sistema per calcolare un qualsiasi numero della serie di Fibonacci, potrei rispondere in questo modo:
«Un qualsiasi numero della serie di Fibonacci è dato dalla somma dei due numeri che lo precedono nella serie di Fibonacci».
Questa potrebbe sembrare una "non risposta", o se volete una risposta stupida, in quanto nella risposta c'è parte della domanda... eppure un meccanismo del genere funziona perfettamente a patto di stabilire le condizioni iniziali, in questo caso che i primi due numeri della serie sono 1 ed 1. Questo in genere si definisce "punto minimo" e ci salva da un loop infinito, oltre a permetterci di trovare tutti i numeri della serie senza errori!
Nel quesito proposto il problema sta proprio nella risposta 3.
Se ad esempio la risposta 3 fosse stata 12%, avremmo potuto ragionevolmente concludere che non vi era possibilità di dare la risposta corretta, infatti:

• la probabilità non può essere 25%, perché se lo fosse sarebbe del 50% (due risposte, la 2 e la 4);
• la probabilità non può essere 50%, perché se lo fosse sarebbe del 25% (una sola risposta, la 1);
• la probabilità non può essere 12%, perché se lo fosse sarebbe del 25% (una sola risposta, la 3).

In questo caso quindi nessuna delle risposte è giusta, e, scegliendone una a caso, è certo che sarà errata, cioè la probabilità di rispondere correttamente scegliendo a caso è 0%.
Ma quest'ultima frase significa che non vi può essere alcuna risposta corretta alla domanda, il fatto è però che se includiamo 0% tra le risposte potremmo sì avere quaterne coerenti, ad esempio "50% - 0% - 50% - 18%", ma nel nostro caso e seguendo il ragionamento fatto in precedenza, arriviamo alla paralisi logica (loop), perché la probabilità di rispondere correttamente è 0% che, ahimè, è una delle risposte!
Per cui con la quaterna di risposte indicate non è possibile rispondere alla domanda, come del resto non troveremmo mai numeri di Fibonacci senza avere imposto un "punto minimo" corretto.