I numeri, che meraviglia!

Stamattina ho condiviso sulla mia bacheca Facebook l'uguaglianza mostrata nella vignetta qui sopra – trovata in questa pagina contenente spunti che potrebbero tornarmi utili per chissà quanti post – aggiungendo che mi sembrava meravigliosa.

10² + 11² + 12² = 13² + 14²

Oh, in effetti fa 100 + 121 + 144 = 169 + 196 = 365, provare per credere!
Un amico ha commentato sottolineando un aspetto che sotto sotto avevo già intuito, e cioè che la si poteva considerare una versione estesa del famoso "trittico" (3,4,5):

3² + 4² = 5²

che si può scrivere come

(x–1)² + x² = (x+1)²

Espandendo i quadrati dei binomi, eliminando i termini uguali a primo e secondo membro e semplificando, si ottiene l'equazione

x² = 4x

che ha come soluzione x = 4, oltre alla banale x = 0.
L'uguaglianza di cui sopra, invece, si può scrivere come

(x–2)² + (x–1)² + x² = (x+1)² + (x+2)²

riconducibile a

x² = 12x

che ha come soluzione x = 12, oltre a x = 0.
Il mio "facciamico" mi ha suggerito come la faccenda si potesse sviluppare ulteriormente: se scriviamo

(x–3)² + (x–2)² + (x–1)² + x² = (x+1)² + (x+2)² + (x+3)²

e risolviamo, otteneniamo x = 24 (oltre alla solita x = 0). L'uguaglianza "magica" in questo caso risulta essere

21² + 22² + 23² + 24² = 25² + 26² + 27²

Lasciamo come esercizio al lettore – ho sempre sognato di scriverlo! ;-) – il compito di verificare che

36² + 37² + 38² + 39² + 40² = 41² + 42² + 43² + 44²

E adesso devo impormi di dire basta, ché sennò potrei andare avanti all'infinito! ;-)
P.S.: Le formule avrei voluto scriverle in LaTeX, ma mi sono resa conto di non averlo mai reinstallato da quando mesi fa ripristinai il PC... :-/