Dalle uguaglianze a una (famosa) disuguaglianza

Se ieri ho parlato di uguaglianze, oggi invece mi occupo di una disuguaglianza piuttosto intrigante. In questo caso però non ho scritto alcuna formula né fatto nessun calcolo, limitandomi a tradurre il post The Famous RMS-AM-GM-HM Inequality (La famosa disuguaglianza RMS-AM-GM-HM) pubblicato qualche mese fa da Presh Talwakar nel suo blog Mind Your Decisions. Enjoy! :-)

Ecco una fantastica proprietà dei numeri che spesso si rivela utile nelle gare di matematica e nelle dimostrazioni teoriche.

Per due numeri positivi a e b, abbiamo il seguente ordinamento dal più grande al più piccolo:

Valore quadratico medio (RMS, root-mean square)
√((a² + b²)/2)
≥
Media aritmetica (AM, arithmetic mean)
(a + b)/2
≥
Media geometrica (GM, geometric mean)
√(ab)
≥
Media armonica (HM, harmonic mean)
2/(1/a + 1/b)

E l'uguaglianza vale se e solo se a = b.

Costruiamo le lunghezze e quindi confrontiamole.

Costruire AM

Disegniamo un semicerchio di diametro a + b. Il suo raggio è la metà del diametro, che è la media aritmetica (a + b)/2.

Costruire RMS

Il valore quadratico medio è l'ipotenusa del triangolo rettangolo seguente, in cui un cateto è il raggio del cerchio (AM), quindi RMS non è mai minore di AM.

Costruire GM

La media geometrica è la lunghezza della perpendicolare dove a e b si incontrano, che non è mai più grande del raggio del cerchio.

Costruire HM

Questa è la costruzione più complessa. Costruiamo un triangolo con la media geometrica come un cateto e il raggio del cerchio come l'ipotenusa. Se tracciamo l'altezza relativa a questa ipotenusa, la lunghezza superiore sull'ipotenusa è la media armonica.

Poiché HM è un cateto di un triangolo in cui GM è l'ipotenusa, GM non è mai minore di HM.

Mettere tutto insieme

Abbiamo illustrato le disuguaglianze a coppie:

RMS ≥ AM
AM ≥ GM
GM ≥ HM

Possiamo metterle insieme in una singola riga poiché le disuguaglianze sono transitive:

RMS ≥ AM ≥ GM ≥ HM

Se a ≠ b, allora quelle sopra sono tutte disuguaglianze strette, poiché l'ipotenusa di un triangolo rettangolo è strettamente più grande di un cateto nel triangolo. (E viceversa: se le disuguaglianze sono strette, allora a ≠ b)

Se a = b, allora con il calcolo diretto avremo che tutte le quantità sono uguali ad a (o a b). Viceversa, cosa succede se le disuguaglianze sono tutte uguaglianze? Allora si deve avere che l'ipotenusa di ciascun triangolo è uguale a un cateto, il che accade solo se a = b quando tutte le lunghezze diventano il raggio del semicerchio.

Generalizzare

La disuguaglianza RMS-AM-GM-HM è vera anche per un insieme arbitrario di numeri positivi.

Ecco un link alla dimostrazione nel caso generalizzato.

Si tratta di una relazione piuttosto interessante tra numeri positivi che è sempre vera! E il caso a due variabili ha la sua bella illustrazione geometrica, così che tu possa ricordare sempre l'ordine delle medie.