Se comunque non ti ricordi la formula del volume del cono, sarà il caso che la ripassi! :-)
Questo quesito mi è stato inviato come problema sottoposto a studenti di età compresa fra 12 e 13 anni.
Quando una bottiglia conica poggia sulla sua base piatta, l'acqua nella bottiglia è a 8 cm dal suo vertice.
Quando la stessa bottiglia conica viene capovolta, il livello dell'acqua si trova a 2 cm dalla sua base.
Qual è l'altezza della bottiglia?
(Nota: "conico" si riferisce a un cono circolare retto come nell'uso comune)Per leggere la soluzione, non devi far altro che scorrere la pagina un po' più in basso.
La chiave per risolvere questo problema è che il volume d'acqua in ciascun cono è lo stesso. Quindi si tratta di scrivere le equazioni corrette e semplificare usando triangoli simili. Per prima cosa consideriamo il cono che poggia sulla sua base.
Definiamo le variabili:
h – altezza della bottiglia
R – raggio della base della bottiglia
r1 – raggio del cerchio a 8 cm dal vertice
Il volume dell'acqua è il volume dell'intera bottiglia meno il volume del cono a 8 cm dal vertice, che è:
(π/3)R2h – (π/3)(r1)2(8)
I due triangoli rettangoli nel disegno sono simili, e quindi abbiamo:
r1/8 = R/h
r1 = 8R/h
Sostituiamo questo nella formula del volume dell'acqua per ottenere:
(π/3)R2h – (π/3)(8R/h)2(8)
= (π/3)R2(h – 512/h2)
Adesso facciamo un calcolo simile per l'altro disegno.
L'altezza e il raggio della bottiglia sono gli stessi, quindi è sufficiente definire soltanto un'altra variabile:
r2 – raggio del cerchio a 2 cm dalla base
Il volume dell'acqua è il volume del cono a 2 cm dalla base, che ha un'altezza di h – 2. Quindi il suo volume è:
(π/3)(r2)2(h – 2)
Ancora una volta i due triangoli rettangoli nel disegno sono simili, e perciò abbiamo:
r2/(h – 2) = R/h
r2 = (h – 2)R/h
Sostituiamo questo nella formula del volume dell'acqua per ottenere:
(π/3)((h – 2)R/h)2(h – 2)
= (π/3)R2(h – 2)3/h2
Sembra che abbiamo appena trovato alcune formule complicate. Ma se continuiamo a lavorare troveremo una cancellazione miracolosa.
Poniamo adesso uguali tra loro le due formule per il volume dell'acqua.
(π/3)R2(h – 512/h2) = (π/3)R2(h – 2)3/h2
Il termine (π/3)R2 è comune a entrambi i membri dell'equazione, quindi si annulla: la risposta risulta essere indipendente dal raggio della bottiglia!
h – 512/h2 = (h – 2)3/h2
h3 – 512 = (h – 2)3
h3 – 512 = h3 – 6h2 + 12h – 8
6h2 – 12h – 504 = 0
h2 – 2h – 84 = 0
Adesso possiamo risolvere usando la formula quadratica per la risoluzione delle equazioni di secondo grado, e dal momento che l'altezza deve essere positiva, teniamo soltanto la soluzione con h > 0:
h = 1 + √85 ≈ 10,2 cm
E come per magia abbiamo determinato l'altezza della bottiglia, anche senza conoscere il raggio della bottiglia!
È interessante notare che la risposta è molto vicina a 8 + 2 = 10, che sarebbe il caso se l'acqua riempisse esattamente metà della bottiglia. È così crudele che abbiano reso la risposta "intuitiva" così vicina alla risposta effettiva!
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