Quest'oggi ti propongo la traduzione del quesito pubblicato tre giorni fa da Presh Talwalkar nel suo blog
Mind Your Decisions con il titolo
Incredible Problem From The Hardest Test – The Area Of An Octagon (Problema incredibile dal test più difficile – L'area di un ottagono). Mi ha stuzzicato in modo particolare perché viene menzionata la pizza, e io adoro la pizza! ;-) Prosegui nella lettura anche per scoprire cosa c'entra la specialità gastronomica italiana più famosa nel mondo... ma non solo per questo.
La Putnam Competition è un esame annuale per studenti universitari negli Stati Uniti e in Canada. Consiste in 6 problemi da svolgere in 3 ore, poi altri 6 problemi da svolgere in altre 3 ore; in totale 12 problemi da svolgere in 6 ore complessive, a una media di 30 minuti a problema.
Ciascuna domanda vale 10 punti, per un massimo di 120 punti. Ma il punteggio medio (mediano) solitamente è di circa 1 punto, anche se viene preso per lo più da studenti che si sono preparati specificamente per l'esame e sono specializzati in matematica.
Il problema di oggi è tratto dal test del 1978, problema B1 (il più semplice del secondo gruppo di problemi).
Un ottagono convesso inscritto in un cerchio ha quattro lati consecutivi di lunghezza 3 e quattro lati consecutivi di lunghezza 2. Trova l'area dell'ottagono.
Per leggere la soluzione, scorri la pagina un po' più in basso.
Il problema può essere risolto facilmente, se ti piace mangiare la pizza! Ammetto che sono arrivato soltanto ad abbozzarne la forma. Ma è stata una soluzione divertente da imparare!
Per prima cosa tracciamo l'ottagono, e disegniamo anche delle linee radiali a partire dal cerchio per dividere l'ottagono in otto triangoli "a spicchio di pizza". Sia r il raggio del cerchio.
Ci sono adesso quattro triangoli isosceli con lati r, r, 3 e quattro triangoli isosceli con lati r, r, 2.
L'intuizione è che possiamo ridisporre questi triangoli in un nuovo ottagono che avrà la stessa area dell'ottagono originale. Quindi formiamo un ottagono posizionando alternativamente le due forme triangolari con lati 3 e 2.
Come possiamo calcolare l'area di questa forma? Pensiamo di nuovo fuori dagli schemi! Disegna un quadrato attorno all'ottagono. L'area dell'ottagono è quindi l'area del quadrato meno i quattro angoli, che sono tutti triangoli rettangoli isosceli con un'ipotenusa pari a 2 (e quindi cateti pari a √2).
Il quadrato ha un lato di lunghezza 3 + 2√2, quindi abbiamo:
area(ottagono) = area(quadrato) – 4 area(triangolo) =
= (3 + 2√2)2 – 4(0,5(√2)(√2)) =
= 17 + 12√2 – 4(1) =
= 13 + 12√2
E come per magia abbiamo calcolato la risposta!
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