Sapresti dire quale curva è più lunga?

Quest'oggi ti propongo il quesito pubblicato qualche giorno fa da Presh Talwalkar nel suo blog Mind Your Decisions con il titolo Test Question Most People Get Wrong (Domanda da test che la maggior parte delle persone sbaglia). A me è sembrato abbastanza intuitivo, ma a quanto pare non lo è affatto... e comunque direi che vale la pena di ragionarci un pochino! :-)

Nel disegno seguente, la curva azzurra è una curva composita di due semicerchi i cui diametri hanno somma AB, e la curva verde è un semicerchio lungo AB. Il segmento di retta AB ha lunghezza 10.

Qual è la relazione tra la lunghezza della curva azzurra e quella della curva verde?

1. La curva verde è più lunga.
2. La curva azzurra è più lunga.
3. Le due curve hanno la stessa lunghezza.
4. La relazione non può essere determinata a partire dalle informazioni fornite.

E adesso, scorri la pagina un po' più in basso per leggere la soluzione!

Molte persone pensano che la risposta sia d, cioè che la relazione non possa essere determinata. Intuitivamente sembra che la lunghezza della curva azzurra dipenda da come vengono disegnati i due semicerchi. Ma sorprendentemente questo non importa! La curva azzurra ha sempre la stessa lunghezza. Vediamo perché.

Ricordiamo che la circonferenza di un cerchio di diametro d è:

C_d = dπ

La curva verde è la metà di C₁₀:

lunghezza della curva verde
= 0.5C₁₀
= (0.5)10π
= 5π

La curva azzurra è una curva composita. Supponiamo che un semicerchio abbia diametro x. Dal momento che AB è uguale a 10, l'altro semicerchio avrà diametro 10 – x.

Quindi possiamo calcolare la lunghezza della curva azzurra come la somma delle lunghezze di due semicerchi:

lunghezza della curva azzurra
= 0.5C_x + 0.5C_{10 – x}
= (0.5)xπ + (0.5)(10 – x)π
= (0.5)xπ + 5π – (0.5)xπ
= 5π

Sorprendentemente, la curva azzurra ha esattamente la stessa lunghezza della curva verde, quindi la risposta corretta è c.

Puoi vederlo anche in un'animazione su Desmos (varia il parametro "a" per cambiare la linea azzurra. Se premi "play" per il parametro "a", otterrai anche un'animazione della linea azzurra che cambia).