Una giornata... enigmatica

Oggi che è il giorno del pi greco condivido due enigmi pubblicati per l'occasione da Presh Talwalkar nel suo blog Mind Your Decisions:
Pi Day Puzzle – Solve For Each Letter (Enigma del giorno del pi greco – Risolvi per ciascuna lettera)...

Con il giorno del pi greco in arrivo (3/14 [da 3,14159265... arrotondato alla seconda cifra decimale, accidenti all'usanza americana di scrivere il mese prima del giorno! ;-) NdC]), ho voluto condividere questo divertente problema dal sito di Manan Shah Math Misery?.

√(PI) + E = √(PIE)

Ciascuna lettera è una cifra differente da 0 a 9, ma P non può essere 0. Nota che PI è un numero a due cifre e PIE è un numero a tre cifre.

Non sono ammesse calcolatrici o computer. Riesci a determinarlo?

... e What is –1 to the power of pi equal to? (Quanto fa –1 elevato alla potenza di pi greco?).

Aarjav di Delhi in India mi ha posto questo problema:

(–1)^π = ?

Ecco la soluzione del primo...

Ci sono molti modi per risolvere questo tipo di problema. Condividerò il modo in cui l'ho risolto io.

In primo luogo vogliamo che PI sia un quadrato perfetto, quindi abbiamo le possibilità:

16
25
36
49
64
81

Adesso abbiamo bisogno che PIE sia un quadrato perfetto, quindi consideriamo quali numeri a 3 cifre hanno le prime due cifre comprese nella lista sopra. Ci sono tre possibilità:

169
256
361

Quindi controlliamo questi tre casi, e soltanto la prima possibilità funziona. Perciò abbiamo:

P = 1, I = 6, E = 9

che dà luogo a

√16 + 9 = 13 = √169

... e quella del secondo.

Cominciamo con la formula:

e^iθ = cosθ + isinθ

Sostituendo θ = π si ottiene la famosa formula:

e^iπ = cosπ + isinπ = –1

Ora eleviamo entrambi i membri alla potenza di π per ottenere:

(–1)^π
= (e^iπ)^π
= e^iπ2

Poniamo ora θ = π² per ottenere:

e^iπ2
= cosπ² + isinπ²
≈ –0.903 – (0.430)i

Uhm, questa è una risposta piuttosto complessa per un problema apparentemente semplice. Buon giorno del pi greco!

[La vignetta che apre il post è tratta da xkcd]