Tagliati per la matematica

Oggi, 25 aprile, ricorre il centosessantanovesimo anniversario della nascita del matematico tedesco Felix Klein. Forse il suo nome non ti dirà nulla, ma magari può darsi che tu abbia sentito parlare della bottiglia di Klein, legata al famoso nastro di Möbius, che prende il nome da un altro matematico tedesco, August Ferdinand Möbius. Per la precisione, «La bottiglia di Klein può essere costruita (in senso matematico) "incollando" i margini di due nastri di Möbius. Se una bottiglia di Klein è divisa in due lungo il suo piano di simmetria, il risultato è un nastro di Möbius».
Ed è proprio dalla data di nascita di Klein e dalle proprietà del nastro di Möbius che ha preso spunto Alex Bellos per il suo Monday puzzle di due giorni fa, suggeritogli da Simon Singh, promotore di un progetto dedicato ai giovani(ssimi) matematici.

Gli enigmi di oggi sono in onore del matematico tedesco Felix Klein, nato questa settimana 169 anni fa, il 25 aprile 1849.

1) Cosa c'è di numericamente interessante nella data di nascita di Klein, e perché l'anniversario di quest'anno è particolarmente degno di nota?

Klein è noto per aver descritto, nel 1882, la bottiglia di Klein, un oggetto matematico che sembra un fiasco con il becco che si rigira al suo interno. La bottiglia di Klein è interessante perché ha un solo lato. È strettamente legata al nastro di Möbius, che ha anch'esso un solo lato ed è stato descritto dal suo compatriota August Ferdinand Möbius nel 1858.

Ecco come si costruisce un nastro di Möbius. Per prima cosa ritaglia una striscia di carta.

Se unisci le estremità ottieni una striscia come questa.

Ma se imprimi a un'estremità una torsione di 180 gradi prima di unire le estremità – il che significa che, quando le estremità si incontrano, la faccia superiore della striscia è allineata con la faccia inferiore, e viceversa – ottieni un nastro di Möbius.

Il nastro di Möbius ha un solo lato. Pensala in questo modo. Immagina di essere una formica che cammina lungo tutta la lunghezza della striscia. Dopo un giro ti ritroveresti nello stesso punto del foglio, ma sul "retro". Dopo un altro giro torneresti al punto di partenza, sul "fronte". Dal momento che non hai mai oltrepassato un bordo, il "fronte" e il "retro" devono essere lo stesso lato. (M.C. Escher lo illustra qui)

Il nastro di Möbius è ben noto nella cultura popolare, e spesso viene usato come metafora dei cicli infiniti e dell'infinità. Le sue proprietà si prestano anche per fantastici enigmi. Ad esempio puoi tracciare una linea lungo il centro del nastro.

Quando tagli lungo la linea, ottieni un anello singolo con due giri di torsione. Forte!

2) Cosa ottieni quando tracci due linee parallele sul nastro di Möbius, e poi tagli lungo tali linee?

L'enigma può essere risolto facilmente se costruisci un nastro di Möbius e lo ritagli. (Cosa che consiglio) Ma prima di farlo cerca di usare la tua intuizione spaziale per dedurre cosa succede.

E adesso passiamo alle soluzioni...

1) La sua data di nascita è il 25/4/1849, che è 5²/2²/43², e quindi ricorre il suo 169esimo = 13² anniversario. Tutti i numeri sono dei quadrati. Nota di merito se ti sei accorto che sono tutti numeri primi. Klein era destinato a fare il matematico!

2) Questo è quello che ottieni: un nastro di Möbius intrecciato con un anello più lungo con due giri di torsione.

Ecco come ci saresti potuto arrivare. Tagliare lungo le linee è come tagliare i lati di una fascia centrale. Questa fascia centrale mantiene la forma di un nastro di Möbius, solo più stretto.

I bordi tagliati sono entrambi uniti, e diventano l'anello più lungo con due giri di torsione. Ricorda, prima ti ho detto che, quando tracci una singola linea lungo il nastro di Möbius e tagli lungo tale linea, ottieni un anello singolo con due giri di torsione. Nel caso con due linee, immagina che le due linee si avvicinino sempre di più. Al limite sono la singola linea.

Se vuoi divertirti ancora con i nastri di Möbius, prima crea altre due strisce. Traccia una linea in mezzo a ciascuna di esse e incollale insieme in questo modo:

Ti garantisco che avrai una grossa sorpresa quando taglierai lungo le linee. Rimarrai senza fiato! Diventerà il tuo pezzo forte alle feste!

[Ovviamente, da curiosona quale sono, ho preso carta, forbici e scotch – di colla non ne avevo a portata di mano – per verificare di persona... ma se Alex non ha voluto anticipare alcunché riguardo alla sorpresa, chi sono io per "spoilerare"? ;-) Comunque posso anticipare che in fondo era abbastanza prevedibile, NdC]

Una volta fatto questo, collega due nastri di Möbius allo stesso modo. Puoi collegare due nastri di Möbius sottoposti a torsione allo stesso modo, oppure in modi differenti. Adesso prova a tagliare nel mezzo.

Prendi subito le forbici!