Un problema che ti darà... del filo da torcere

In un periodo nel quale tanti studenti si stanno preparando ad affrontare gli esami, quest'oggi ti propongo un quesito a tema, pubblicato lunedì scorso da Alex Bellos nel suo blog Monday puzzle con il titolo Can you solve it? Are you in the smartest 10 per cent? (Riesci a risolverlo? Fai parte del 10% più intelligente?).

Un filo viene avvolto simmetricamente attorno a una barra circolare. Il filo va esattamente quattro volte attorno alla barra. La circonferenza della barra è pari a 4 cm e la sua lunghezza è pari a 12 cm. Trova la lunghezza del filo.

Si tratta di un problema piuttosto bello. Non richiede alcuna nozione matematica al di là di ciò che si insegna alle scuole medie inferiori. Riesci a individuare un modo "semplice" per risolverlo?

Qualche ora dopo Alex ha pubblicato la soluzione.

Ho voluto proporre questo quesito perché sembra molto più complicato di quanto non sia. In effetti, quando è stato posto due decenni fa ai diciottenni di 16 Paesi, nove su dieci non sono riusciti a trovare la risposta esatta. [Da cui il titolo del quesito, NdC] Eppure tutto quello che serve è un teorema famosissimo che si impara alle scuole medie.

Immagina che la barra sia un cilindro, diciamo il cilindro di cartone di un rotolo di carta da cucina. Taglia in linea retta da un'estremità del rotolo all'altra, tra i punti in cui si trovano le estremità del filo. Quando srotoli il cilindro e lo metti su una superficie piana, otterrai un rettangolo di 12 cm per 4 cm, come illustrato qui dal lettore Mr H, alias @singinghedgehog.

Il filo è la linea rossa.

Il rettangolo grande è suddiviso in quattro rettangoli uguali di 3 cm × 4 cm dai punti in cui il filo attraversa il bordo tagliato. Per trovare la lunghezza del filo, usiamo ora quel famoso teorema che ti dicevo...

Il teorema di Pitagora afferma che in ogni triangolo rettangolo l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui due cateti. Applicandolo in questo caso, se i cateti hanno lunghezza 3 e 4, l'ipotenusa ha lunghezza 5, come illustrato.

La lunghezza totale del filo è pari a quattro ipotenuse, perciò è uguale a 4 × 5 = 20 cm.

Alla fine di entrambi i post c'è un piccolo "messaggio promozionale" che trovo degno di condivisione. Football School, che Alex ha scritto insieme a Ben Lyttleton, è un libro per bambini dai 7 ai 13 anni che usa il calcio per spiegare argomenti come l'inglese, la matematica, la fisica, la geografia, la filosofia e la zoologia. A me pare un'idea regalo giocosamente istruttiva per ragazzini appassionati di calcio che se la cavano bene con l'inglese.