Soldi buttati

Quest'oggi ti propongo l'enigma che Alex Bellos ha pubblicato nel suo blog Monday puzzle lunedì scorso, e che soltanto ieri ho avuto tempo e modo di guardare – e tradurre... ;-) – con calma. Ladies and gentlemen, ecco a voi il misterioso problema del professor Povey!

L'enigma di questa settimana è rubato (con autorizzazione) dal libro di recente pubblicazione Professor Povey's Perplexing Problems.
Il libro è una raccolta di quesiti pre-universitari di matematica e fisica, scelti da Thomas Povey, professore di ingegneria all'università di Oxford. Egli scrive che le domande «sono concepite per stimolare la curiosità e la giocosità, e molte sono del tipo previsto in alcuni test di ammissione all'università». È molto divertente e molto impegnativo!
Il libro riguarda in gran parte la fisica, ma alcuni degli enigmi sono matematici, come questo ideato da lui stesso.

La moneta e la scacchiera

Una moneta di diametro 1 viene lanciata su una scacchiera infinitamente grande con quadrati di lato 2.
Qual è la probabilità che la moneta atterri in una posizione tale da toccare sia il bianco sia il nero?

Per maggiore chiarezza: una scacchiera infinitamente grande è una scacchiera che prosegue per sempre in tutte le direzioni, e la moneta atterra su una delle sue facce.

Ci hai riflettuto un po' su? Qualunque sia la tua risposta, scorri in basso la pagina per leggere la soluzione...

Per risolvere questo problema considera le possibili posizioni di una moneta che atterra all'interno di un quadrato.
Poniamo che la moneta tocchi uno o due lati del quadrato. Come si può vedere dalla figura qui sotto a sinistra, il centro di una moneta che tocca uno o due lati del quadrato deve sempre trovarsi in un quadrato più piccolo.
Questo quadratino è la chiave per ricavare la risposta.

A sinistra: quando la moneta si muove lungo il lato del quadrato, il suo centro traccia un quadrato più piccolo.
A destra: se il centro della moneta è nella zona ombreggiata, la moneta si sovrappone a un quadrato vicino della scacchiera.

Quando il centro della moneta è nel quadrato piccolo, la moneta tocca un solo colore. E quando il centro della moneta non è nel quadrato piccolo, la moneta attraverserà il bordo del quadrato più grande e toccherà due colori.
Quindi la probabilità di toccare due colori è la percentuale del quadrato grande che è al di fuori del quadrato piccolo. È la superficie ombreggiata sopra a destra.
L'area del quadrato intero è 2 × 2 = 4.
L'area del quadrato piccolo è 1, perché il lato è 1.
Così l'area ombreggiata è 4 – 1 = 3.
La probabilità di toccare due colori è pertanto 3/4, oppure il 75 per cento.