L'anatra perspicace

Questa sera ti propongo un quesito tratto dal blog di Saurabh Joshi. Poiché la soluzione mi sembra relativamente più contorta rispetto a quella di altri enigmi da me segnalati, mi sono ripromessa di condividerla qui, magari in forma "criptata"... non subito, però: prima voglio lasciarti qualche giorno per sbizzarrirti con il problema. ;-) Eccone di seguito la traduzione...

C'è un lago circolare di raggio r. Un'anatra sta al centro del lago, mentre un cane si trova lungo il perimetro. Il cane è intelligente, come pure l'anatra (in realtà non lo è nessuno dei due [mi dissocio da questa precisazione: gli animali sono intelligenti! ;-) NdG], ma questa aggiunta serve per assicurarsi che il lettore sia abbastanza intelligente da non dare risposte stupide). Il cane vuole disperatamente mangiarsi l'anatra. Ora che l'anatra ha terminato di pescare, essa vorrebbe scappar via. Il solo modo che ha per farlo è raggiungere il perimetro del lago e volare via. (Per qualche misteriosa ragione, quest'anatra sa volare benissimo, ma quando è in acqua non ne è capace.) La velocità con cui nuota l'anatra è s, mentre il cane può correre a una velocità pari a 4s. Quale strategia/percorso dovrebbe seguire l'anatra per garantirsi una sicura via di fuga?

[Se proprio non riesci a venirne a capo e non ce la fai ad aspettare che io pubblichi la soluzione, conoscendo l'inglese potrai ricavarla dal post originario]

Update dell'8/3: come promesso, eccoti la soluzione! Non si legge un accidente, dici? Beh, per "decifrare" il tutto non devi far altro che selezionare le righe che seguono, e "come per magia" il testo apparirà! :-) (La figura è visibile comunque... prendilo come un "aiutino"! ;-))

Una prima ipotesi potrebbe essere: e se l'anatra tentasse di scappare nuotando diagonalmente in direzione opposta rispetto a dove si trova il cane? Purtroppo per l'anatra, così non funziona: infatti π (pi greco) è minore di 4 e quindi, nel tempo in cui l'anatra percorre a nuoto una distanza r, il cane avrà coperto senza problemi una distanza πr.
Ad ogni modo, supponiamo d'ora in poi che r = 1 senza perdita di generalità. Osserva la figura qui sotto.

Ecco quanto misurano le distanze: AB = 1/4, AD = AC = 1, BC = 3/4. Che cosa succede se l'anatra riesce ad essere in B quando il cane si trova in D? A questo punto l'anatra può subito raggiungere C in modo sicuro. Perché? Beh, pensaci un attimo. BC = 3/4, così il cane può coprire al massimo tre unità di distanza in quel lasso di tempo. Ma per catturare l'anatra, il cane deve coprire una distanza π > 3. Povero cane!
Il passo successivo è fare in modo che questa situazione si verifichi. Si noti, che quando l'anatra descrive nel lago un cerchio di raggio 1/4, il cane può correre lungo il perimetro con la stessa velocità angolare. Per tutti i cerchi di raggio inferiore a 1/4, la velocità angolare dell'anatra è maggiore di quella del cane. Quindi l'anatra sceglie di descrivere un cerchio di raggio 1/4 – ε, dove ε (epsilon) è molto ma molto piccolo. L'anatra continua a girare in tondo, il che le dà una differenza di fase positiva rispetto al cane. Quando la differenza di fase diviene pari a un angolo piatto, a quel punto l'anatra può andare subito diagonalmente in direzione opposta rispetto al cane e darsi alla fuga. Qui ε è sufficientemente piccolo da sfruttare la differenza π – 3.