Do you want some pie?

Anche quest'anno – l'ho già fatto l'anno scorso, e prima ancora nel 2010 e nel 2012 – pubblico un post per celebrare il Giorno del pi greco. Comunque stavolta me la cavo abbastanza a buon mercato, limitandomi a tradurre dall'inglese il problema pubblicato ieri da Alex Bellos nel suo blog Monday puzzle: Can you solve it? Pi Day puzzles that will leave you pie-eyed (Riesci a risolverlo? I rompicapi del Giorno del pi greco che ti faranno strabuzzare gli occhi; in originale c'è scritto pie-eyed, gioco di parole intraducibile tra pi, pi greco, e pie, torta, che si pronunciano allo stesso modo).

Domani [oggi, NdC] è il Giorno del pi greco, il 14 marzo, la scusa annuale della comunità matematica per fare giochi di parole. Intendo onorare il pi greco, il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro, che arrotondato alla seconda cifra decimale è pari a 3,14, quindi 3/14, come gli americani scrivono la data di domani [di nuovo oggi, NdC], proponendo due enigmi creati dalle menti brillanti di Brilliant.org.
Il primo è sulle torte [ancora pie, NdC]. Nell'immagine sotto ci sono tre scatole identiche riempite di torte. Si può supporre che tutte le torte abbiano esattamente la stessa altezza. Quale scatola contiene la maggior quantità di torta?

La domanda successiva riguarda un virus. Cento computer sono connessi in una rete a griglia 10×10, come sotto. All'inizio esattamente nove di essi sono infettati con un virus. Il virus si diffonde in questo modo: se un computer è collegato direttamente ad almeno due vicini infetti, verrà infettato anch'esso. Riuscirà il virus ad infettare tutti e cento i computer?

L'immagine mostra un possibile esempio dell'infezione iniziale. Si può provare a riempirlo per vedere se alla fine la rete sarà costituita da cento punti arancioni. Ma la domanda non chiede cosa succede a questo esempio. Io voglio sapere cosa accadrà data una qualunque configurazione iniziale di computer infetti. È una bella domanda... o meglio, è la soluzione ad essere bella. (E c'è un nesso col pi greco, ma non è ovvio)

Ed ecco le soluzioni...

Primo quesito

A, B e C contengono la stessa quantità di torta.
La soluzione più gustosa è quella di considerare la scatola B come una scatola quadrata fatta da quattro scatole quadrate più piccole, e la scatola C come una scatola quadrata fatta da 16 scatole quadrate più piccole. La torta occupa la stessa percentuale di ciascuna scatola, indipendentemente dalle dimensioni della scatola. Perciò la torta deve occupare la stessa percentuale di A, B e C. In altre parole, la quantità di torta è la stessa in ciascuna scatola.
Ma volendo complicare le cose, si può anche risolvere col pi greco. Come ricorderai dalla scuola, l'area di un cerchio è pi×(raggio)², o πr². Sia r il raggio delle torte più piccole (in C), il che significa che il raggio delle torte medie (in B) è 2r e il raggio della torta grande è 4r. Quindi l'area della torta in A è π(4r)² = 16πr², l'area della torta in B è 4π(2r)² = 16πr², e l'area della torta in C è 16π(r)² = 16πr². Tutte uguali!

Secondo quesito

No, il virus non infetterà tutti e cento i computer.
La soluzione è semplice da comprendere, anche se ci sarebbe voluta un'intuizione abbastanza notevole per arrivarci da solo.
La chiave di tutto qui è il perimetro dell'infezione. Con perimetro intendo la lunghezza del contorno dell'infezione. Affinché l'infezione infetti tutti i computer, il contorno finale dev'essere 40, dal momento che il perimetro di un quadrato 10×10 infetto è 10 + 10 + 10 + 10 + 40.
Si noti che l'infezione può essere una singola area, oppure può essere fatta di tante aree separate. Se è fatta di tante aree separate, dobbiamo combinare i perimetri di tutte le aree infette.
Il perimetro di un singolo computer infetto è 4, come sotto. Quindi il perimetro di nove computer infetti sarà al massimo 36, ​​che è 4×9. (Questo è il caso quando non ci sono computer infetti adiacenti, come nell'immagine sopra. Ma il perimetro può essere molto inferiore. Ad esempio, se i computer infetti sono tutti sulla stessa riga, il contorno sarà solo 9 + 9 + 1 + 1 = 20)

La parte bella di questo problema è il fatto che il perimetro dell'infezione non aumenta mai al crescere dell'infezione. Consideriamo che cosa accade quando un computer non infetto viene infettato da due computer. Due dei suoi lati sono assorbiti nella zona infetta, e gli altri due diventano parte del perimetro della zona infetta. Il perimetro perde 2 elementi e ne guadagna 2, con una variazione netta pari a 0. Possiamo vedere questo nella mini-griglia sottostante. In A, la zona infetta ha un perimetro 8. In B, un nuovo computer è stato infettato, ma il perimetro della zona infetta rimane 8. Allo stesso modo in C, un altro computer è stato infettato, e il perimetro rimane 8.

Se un computer non infetto viene infettato da tre computer, tre lati vengono assorbiti nell'infezione, e il suo quarto lato diventa parte del perimetro, con una perdita netta per il perimetro pari a 2. E se un computer non infetto viene infettato da quattro computer, la perdita netta per il perimetro è pari a 4.
Quindi, se il perimetro di nove computer infetti è al massimo 36, e non può mai aumentare, allora non può mai arrivare a 40, il che significa che l'infezione non può diffondersi a tutti i computer. Risolto!
L'altra domanda era in che modo questo quesito è legato a pi greco. Il collegamento non è evidente, e non riguarda neppure la matematica. La lettera greca pi è stata scelta come simbolo per il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro perché è l'abbreviazione di periferia, che è sostanzialmente la stessa cosa di perimetro. Se hai pensato in modo periferico, sulle periferie, potresti esserci arrivato. (Ecco qui una grande storia sull'uomo che ha inventato il pi greco)

A proposito... siccome ero rimasta un po' indietro coi quesiti di Alex Bellos, ho scoperto con un certo ritardo una curiosa proprietà del numero 2017 da aggiungere alle altre che ho esposto il giorno di Capodanno: 2017 è il numero intero più piccolo la cui radice cubica inizia con dieci cifre distinte.