Cosa c'è di vero?

Quest'oggi ti propongo la traduzione del quesito pubblicato due giorni fa da Presh Talwalkar nel suo blog Mind Your Decisions con il titolo Best Multiple Choice Question Ever? (La migliore domanda a scelta multipla di sempre?).

Ho visto questo divertente problema su Math StackExchange.

Quale risposta in questa lista è la risposta corretta a questa domanda?

1. Tutte le seguenti.
2. Nessuna delle seguenti.
3. Tutte le precedenti.
4. Una delle precedenti.
5. Nessuna delle precedenti.
6. Nessuna delle precedenti.

Riesci a indovinarlo?

Scorri la pagina un po' più in basso per leggere la soluzione...

La risposta è la 5. Ci possiamo arrivare ragionando sulle asserzioni una per una.

1. Tutte le seguenti.
2. Nessuna delle seguenti.
3. Tutte le precedenti.
4. Una delle precedenti.
5. Nessuna delle precedenti.
6. Nessuna delle precedenti.

Cominciamo dalla 1. Se la 1 è vera, ciò implica che la 5 è vera, il che implica che la 1 è falsa. Quindi la 1 è auto-contraddittoria e non può essere vera.

Saltiamo la 2 e passiamo alla 3. Affinché la 3 sia vera, è necessario che la 1 sia vera. Ma poiché la 1 è falsa, se ne deduce che la 3 è falsa.

Adesso consideriamo la 2. Se è vera, allora la 4 deve essere falsa. Poiché la 1 e la 3 sono false, se la 4 è falsa dobbiamo avere che anche la 2 è falsa. Quindi la 2 è auto-contraddittoria ed è falsa.

Poiché la 1, la 2 e la 3 sono false, questo implica che anche la 4 è falsa (poiché nessuna delle asserzioni precedenti è vera).

Che dire della 6? Se la 6 è vera, allora la 5 deve essere falsa. Se la 5 è falsa, allora qualcuna delle asserzioni precedenti deve essere vera. Ma tutte le asserzioni che precedono la 5 sono false, quindi la 5 sarebbe effettivamente vera. Quindi la 6 non può essere vera.

L'unica possibilità è la 5. La 5 può essere vera? Sì! Si deduce che nessuna delle asserzioni precedenti è vera, quindi la 5 può essere vera.

La risposta è 5.