Chi venderà più gelati?

In occasione dell'Election Day, mi sembra che tornino di particolare attualità due post pubblicati da .mau. riguardo al paradosso dei gelatai, che a dispetto del nome c'entra moltissimo con la politica e in particolare con un sistema elettorale come quello statunitense, nel quale si sfidano due soli candidati. Il primo risale al lontano 2005...

Si stanno di nuovo avvicinando delle elezioni. Non so se sia capitato di sentire anche a voi questa “dimostrazione matematica” che porta in uno schieramento bipolare entrambi i candidati verso il centro dello schieramento.
Supponiamo di avere una lunga spiaggia (le posizioni politiche, da sinistra a destra) dove i vari bagnanti sono variamente distribuiti. Questa spiaggia non ha venditori ambulanti: gelati aranciate cocco e quant’altro si possono comprare solo da due banchetti, che hanno l’esclusiva. Si può immaginare che ognuno vada a prendersi il gelato da quello che è più vicino, e che all’inizio siano uno più o meno a sinistra e uno a destra. Però il primo può pensare “se mi spostassi un pochino a destra, continuo ad essere il più vicino per quelli alla mia sinistra; continuo ad essere il più lontano per quelli alla destra del mio collega; ma per alcuni di quelli in mezzo divento io il più vicino. Quindi ci guadagno: domani mi posiziono più a destra”. Il gelataio di destra fa naturalmente il discorso simmetrico, e così per Ferragosto ce li troviamo in mezzo schiena contro schiena.
Cosa c’è di sbagliato in questo ragionamento? Matematicamente, nulla. Fila perfettamente qualunque sia la distribuzione degli elettori, pardon dei bagnanti, sulla spiaggia. Funzionerebbe perfino con una spiaggia non lineare ma planare, se lo spostamento avviene in direzione dell’altro. L’errore è molto più sottile: viene fatto l’implicito assunto che tutti prendano necessariamente il gelato. Se qualcuno decidesse che non vale la pena fare tutta quella strada, e quindi si astenesse, il ragionamento viene subito inficiato. Il problema non è quindi sul ragionamento, ma molto più alla base, sul modello; qualcosa che non sembra però essere compreso da molta gente, che non solo si rifiuta di capire la matematica ma ha un atteggiamento fideistico che forse è ancora più pericoloso.
Aggiornamento: temo di essere stato troppo nebuloso: provo ad aggiungere un esempio con i numeretti. (ancora modificato… l’ho sempre detto io che è difficilissimo divulgare la matematica)
La nostra spiaggia ha cento persone. In questo momento, la situazione è simmetrica: ci sono 30 persone a sinistra del gelataio S divise in due gruppi di 20 e 10 persone, 15 un pochino a destra di S, 10 più o meno equidistanti tra S e D (che divido in 5+5 per far vedere meglio la simmetria… pensateli comunque tutti come pencolanti da una parte all’altra), 15 un po’ a sinistra di D, 30 a destra di D. Tutti inoltre si comprano un gelato. Graficamente:
20 10 S 15 S1 5 X 5 D1 15 D 10 20
Supponiamo che D decida di spostarsi verso il centro e andare a piazzarsi al punto D1, in modo che le cinque persone all’immediata sinistra e destra del centro X trovino più comodo andare da lui piuttosto che da S; il tutto mentre S se ne sta fermo. Così ad occhio sembrerebbe che S rimarrà con solo 45 clienti mentre D ne avrà 55. Se però i venti all’estrema destra decidessero che tanto a questo punto sia S che D sono due gelatai comunisti, e quindi preferiscono non degnarsi di andare a prendere un gelato, abbiamo che S continuerà ad avere 45 clienti, ma D ne avrà solamente 35. Ergo, l’imprenditore con maggior successo sarà S, nonostante D abbia più persone nel suo bacino di utenza.
Intendiamoci, anche questo è un modello estremamente semplificato, e che fa delle assunzioni molto forti sulla distribuzione dell’elettorato, pardon dei bagnanti: ma il mio punto è proprio che occorre studiare attentamente il modello.

... mentre il secondo all'anno scorso.

Un paio di giorni fa, parlando della vittoria di Elly Schlein, avevo accennato al paradosso dei gelatai 2.0, suscitando un certo qual interesse nei mio socialcoso di nicchia. Ecco qua cosa intendo!

Il paradosso dei gelatai è piuttosto noto, e lo si trova anche su Wikipedia. Immaginate di essere a Pocacabana, su una spiaggia lunga un chilometro, dove è stata data una concessione a due gelatai. Inizialmente essi si mettono nella posizione in alto in figura, a 500 metri tra di loro e a 250 metri dagli estremi della spiaggia. Ma A pensa che se si sposta un po’ verso B farà sì di trovarsi un po’ di bagnanti più vicini a lui che a B, e quindi guadagnerà di più. B però non si lascia fregare e si avvicina anch’egli verso il centro, recuperando i bagnanti persi e prendendone ancora altri. Alla fine i due si troveranno fianco a fianco: avranno lo stesso pubblico di prima, ma in compenso mentre prima i bagnanti avevano un gelataio al massimo a 250 metri di distanza ora ce ne sarà qualcuno che dovrà percorrere 500 metri, e magari gli passa la voglia.

In teoria dei giochi il posizionamento di entrambi i giocatori, pardon i gelatai, al centro è un equilibrio di Nash: con il vincolo di doversi per forza trovare nella propria metà della spiaggia quella posizione è stabile perché a nessuno conviene muoversi. Ecco perché i partiti tendono a posizionarsi al centro, dicono i teorici dei giochi. Fin qui la teoria. Passiamo ora alla pratica…

La soluzione suindicata è corretta nell’ipotesi che tutti i bagnanti vadano a prendere il gelato. Ma se quelli più lontani si astengono, la soluzione rimane ottima ma con i due gelatai che guadagnano molto meno. Cosa succede allora se un gelataio decide di essere più radicale e spostarsi di nuovo verso un estremo? Ringalluzzisce i bagnanti che tornano in massa al chiosco e fanno aumentare gli incassi al furbo gelataio. Fuori di metafora, posizionarsi verso gli estremi in una situazione stagnante può dunque essere un vantaggio: l’abbiamo visto con Meloni a queste elezioni, lo vedemmo con Vendola in Puglia, e potremmo vederlo con Schlein. Funzionerà davvero? Chi lo sa. Quello che però sappiamo è che bisogna sempre stare attenti con i modelli :-)

Vabbè, io adesso vado a dormire, e (di)spero che al mio risveglio non debba accogliermi una pessima notizia analoga a quella di otto anni fa. Che la vignetta di Rolli in apertura del post sia di buon auspicio!