Tanti auguri a te... e la torta a me!

Per festeggiare il suo recente compleanno – auguri!!! :-) – ieri Alex Bellos ha pubblicato nel suo blog Monday puzzle tre enigmi sulle torte: yum! :-P Qui di seguito ti propongo la traduzione del primo.

Hai una torta di forma quadrata, e quattro amici. Come fai a dividere la torta in cinque fette di uguali dimensioni? Ciascuna fetta va ricavata con il coltello che taglia verticalmente la torta, e la punta di ciascuna fetta deve essere al centro della torta. Non hai righelli o nastri per prendere le misure, ma puoi usare la griglia orizzontale qui sotto.

La soluzione? Eccola qui...

La soluzione è che ciascuna fetta abbia la stessa quantità di perimetro della torta. (È essenzialmente la stessa cosa che si fa per dividere in cinque fette una torta circolare) Poiché il perimetro della torta è pari a 20 unità (come indicato dalla griglia), allora ciascuna delle cinque fette deve avere 4 unità di bordo. Perciò, scegli un punto sul perimetro e contrassegna quindi tutti gli altri punti a quattro unità di distanza.

Quando tagli a fette dal centro fino a ciascun punto, ti ritrovi con cinque fette di uguali dimensioni. Potresti aver provato a trovare cinque fette che avessero la stessa forma, ma il quesito non chiedeva questo. Le fette hanno un aspetto differente, ma contengono la stessa quantità di torta.

Sappiamo che le fette sono di uguali dimensioni perché l'area di ciascuna fetta è o un triangolo, oppure la combinazione di due triangoli (come mostrato sotto). L'area di un triangolo è pari alla metà della base moltiplicata per l'altezza. I triangoli che compongono le fette hanno tutti la stessa altezza, che è la distanza perpendicolare dal perimetro al centro (in questo caso 2,5 unità). Se la fetta è formata da un singolo triangolo la lunghezza della base è 4, e se la fetta è formata da due triangoli le lunghezze delle due basi hanno somma 4. Quindi l'area di tutte le fette è la stessa.

Se non mi credi, possiamo fare i conti qui: le fette triangolari hanno area

1/2×4×2,5 = 5.

L'area della fetta in basso a sinistra e di quella in alto a destra è

(1/2×1×2,5) + (1/2×3×2,5) = 5.

L'area della fetta in basso a destra è

2×1/2×2×2,5 = 5.

Di fatto, la soluzione funziona per qualsiasi possibile numero intero di fette di torta. Se vuoi tagliare una torta in 7 o 9 o n fette, dividi il perimetro della torta quadrata in 7 o 9 o n parti uguali.

Tutto sommato non era per niente difficile, anche se in effetti mi ci son voluti i calcoli per avere la certezza che tutto tornasse... comunque secondo me questa maniera di fare le torte a fette ha ben poca utilità pratica: se proprio devo tagliare una torta quadrata in n parti uguali, preferisco ottenere n fette rettangolari della stessa forma e dimensione facendo n – 1 tagli paralleli ugualmente distanziati. Ma in fin dei conti, chi se ne importa di come sono fatte le fette? Se la torta è bbona, me la spazzolo via in ogni caso... ;-)