Nel 1911, Srinivasa Ramanujan [geniale matematico indiano scomparso nel 1920 all'età di trentatré anni non ancora compiuti, NdC] formulò questo problema che riguarda un radicale nidificato all'infinito (un'espressione infinita che ha radici quadrate all'interno di radici quadrate).
Qual è il valore di x nell'equazione seguente?
Per leggere la soluzione, non devi far altro che scorrere la pagina un po' più in basso.
Cosa sorprendente, la risposta è esattamente 3. Ecco!
Abbiamo verificato che lo schema è valido fino a 4, con il termine successivo sotto il radicale che è 6 = √62. Giustifichiamo perché lo schema prosegue.
Supponiamo che lo schema sia valido dove n – 2 è il coefficiente davanti all'ultimo radicale, che è uguale a n = √n2. Mostreremo quindi che lo schema prosegue. Possiamo espandere l'ultimo radicale in modo che n – 1 sia il coefficiente successivo davanti a un altro radicale uguale a n + 1 = √(n + 1)2.
Adesso possiamo riapplicare lo schema al termine (n + 1) e generare il radicale nidificato all'infinito.
A questo punto potresti chiederti come si possa pensare a un'idea simile. Vedere schemi numerici era il genio di Ramanujan, e ancor oggi non siamo sicuri di come abbia escogitato alcune delle sue formule.
Lo schema può anche essere ricavato elevando al quadrato un binomio ed usando la sostituzione, come spiegato su mathforum.
La dimostrazione formale richiede di dimostrare la convergenza, il che è un po' più complicato. La prova può essere trovata in questo documento, dal titolo "Ramanujan’s route to roots of roots" [che sembra un po' uno scioglilingua, NdC].
Ho trovato questa brillante rappresentazione in una discussione su StackExchange.
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