Enigmi... vintage

Mettendo ordine nel mio hard disk, ho recuperato alcune immagini salvate dalla pagina Facebook di Garzanti Libri in occasione dell'uscita in libreria della Garzantina della Matematica. Correva l'anno 2013... ma poiché trattasi di tre enigmi, di quelli che non passano mai di moda, colgo l'occasione – meglio tardi che mai! ;-) – per proporteli.

1. LA COLLETTA (Anonimo) – Nel corso di una serata di beneficenza alla quale partecipano 100 persone, un certo numero di queste versa 100 euro a testa. Delle restanti persone, una metà versa 200 euro a testa, mentre l'altra metà non versa nulla. Quanti soldi vengono raccolti in tutto?
2. GATTI E TOPI (Italo Ghersi) – Un gatto e mezzo mangiano un topo e mezzo in un minuto e mezzo. Quanti gatti occorrono per mangiare 60 topi in 30 minuti?
3. SEI GRADI DI SEPARAZIONE (Frigyes Karinthy) – Nel 1929 lo scrittore ungherese Frigyes Karinthy, in un proprio racconto, "Catene", ipotizzò che ogni abitante della Terra possa essere connesso ad un altro suo simile attraverso una brevissima catena di conoscenze personali (amicizie, parentele, rapporti di lavoro, ecc.) presumibilmente costituita da non più di sei livelli (e quindi da non più di cinque intermediari). Se si indicano i due soggetti da collegare con X, Y e i cinque intermediari con A, B, C, D, E, una situazione del genere può essere schematizzata nel seguente modo: X–A–B–C–D–E–Y. Nel 1967 il sociologo statunitense Stanley Milgram riuscì a dimostrare la veridicità di una tale teoria (denominata sei gradi di separazione), pianificando un esperimento concreto che coinvolse un folto gruppo di volontari. Ma in che modo si può spiegare un simile risultato paradossale?

E adesso non devi far altro che scorrere la pagina un po' più in basso per leggere le soluzioni...

1. Questo problema sembrerebbe non ammettere una soluzione determinata, perché il suo enunciato non specifica il numero di persone che versano 100 euro a testa. In realtà può essere risolto facilmente considerando che, se la metà di un numero qualsiasi di persone versa 200 euro a testa e l'altra metà non versa niente, è come se ciascuna di loro versasse 100 euro (come tutte le altre). In definitiva, l'incasso totale è di 100 × 100 euro = 10.000 euro.
2. L'enunciato del problema induce a pensare che il tempo occorrente per mangiare i topi dipenda dalla quantità di gatti. In realtà, il tempo impiegato da un gatto per mangiare un topo non è influenzato dall'eventuale presenza di altri gatti. Di conseguenza, se 1,5 gatti mangiano 1,5 topi in 1,5 minuti, vuoi dire che, nello stesso lasso di tempo, una generica quantità X di gatti mangia un'uguale quantità X di topi. In particolare, un solo gatto mangia un solo topo in 1,5 minuti. Quindi, in 30 minuti, un solo gatto mangia 30/1,5 topi = 20 topi. Per mangiarne 60 (il triplo) nello stesso tempo, occorrono 3 gatti.
3. Si supponga che ogni abitante della Terra conosca almeno altri 50 suoi simili (cifra nettamente sottostimata). Sotto tale plausibile ipotesi, una persona qualsiasi è in grado di mettersi in contatto, attraverso tutte le proprie conoscenze, con almeno altre 50 × 50 = 50² = 2.500 persone. Analogamente, attraverso le conoscenze di queste ultime, può mettersi in contatto con almeno altre 50 × 50 × 50 = 50³ = 125.000 persone. Procedendo nello stesso modo, dopo appena sei di questi passaggi, le persone che può potenzialmente raggiungere diventano almeno 50 × 50 × 50 × 50 × 50 × 50 = 50⁶ = 15.625.000.000 (più del doppio della popolazione mondiale attuale).