Un incastro perfetto

Quest'oggi ti propongo la traduzione dell'enigma pubblicato da Presh Talwalkar il giorno di Ferragosto nel suo blog Mind Your Decision con il titolo What Is The Square’s Side Length? (Qual è la lunghezza del lato del quadrato?).

Un triangolo con lati 3, 4 e 5 viene disegnato all'interno di un quadrato, come mostrato. Qual è la lunghezza del lato del quadrato?

Non ti serve una calcolatrice per trovare una forma esatta della risposta.

Per leggere la soluzione devi solo scorrere la pagina un po' più in basso.

Esistono spesso molti modi per risolvere problemi del genere. Presenterò un metodo che ritengo diretto ma anche istruttivo.

Innanzitutto, ricorda che un triangolo con lati 3, 4 e 5 è un triangolo rettangolo speciale, quindi l'angolo tra i lati di lunghezza 3 e 4 è un angolo retto, che misura 90°.

Adesso ignoriamo il lato 5, e abbiamo due triangoli le cui ipotenuse sono 4 e 3. Mostreremo che sono triangoli simili. Supponiamo che un angolo nel triangolo di ipotenusa 4 abbia un angolo a, quindi l'altro angolo acuto misura 90° – a gradi.

Nel triangolo di ipotenusa 3, possiamo calcolare l'angolo inferiore sinistro come segue:

180° – 90° – (90° – a) = a.

Ciò significa che l'altro angolo nel triangolo è di 90° – a gradi.

Poiché gli angoli corrispondenti in questi triangoli sono uguali, si tratta di triangoli simili.

Supponiamo ora che il cateto più corto del triangolo con ipotenusa 4 sia lungo y. Poiché la lunghezza del lato del quadrato è x, la distanza rimanente deve essere x – y.

Poiché i triangoli sono simili, possiamo eguagliare il rapporto tra il cateto lungo e l'ipotenusa, ottenendo:

(x – y)/3 = x/4
4(x – y) = 3x
x = 4y
x/4 = y

Sostituiamo questo valore nel diagramma per y.

Finalmente possiamo usare il teorema di Pitagora per ottenere:

x² + (x/4)² = 4²
(17/16)x² = 16

Dal momento che vogliamo un valore positivo di x, otteniamo la soluzione:

x = 16/√17