Quanti anni hanno?

Questa sera ti propongo la traduzione dell'enigma pubblicato l'altro giorno da Presh Talwalkar nel suo blog Mind Your Decisions con il titolo Seemingly Impossible Puzzle: How Old Is The Priest? (Enigma apparentemente impossibile: Quanti anni ha il prete?). A me è piaciuto un sacco, perché è parecchio ingegnoso... e poi, rispetto agli argomenti appresso ai quali mi scervello durante la giornata lavorativa, è quasi una roba di tutto riposo! ;-)

Dopo la messa, un prete e un corista ebbero una conversazione.

Il prete chiese: «Sai quanti anni hanno i tre visitatori che abbiamo avuto oggi?».

Il corista disse: «Non lo so».

Il prete disse: «E se ti dicessi che il prodotto delle loro età è 2450?».

Il corista fece alcuni conti e poi rispose: «Ancora non lo so».

Il prete disse: «È interessante notare che la somma delle loro età è il doppio della tua età».

Il corista ci pensò su, ma alla fine disse: «Non ci sono ancora abbastanza informazioni».

Il prete disse poi: «Ricorderai che alla mia festa di compleanno non ho mangiato la torta, scegliendo una dieta sana. Mi domando se le tre persone che sono venute oggi smetteranno di mangiare la torta quando arriveranno alla mia età».

Il corista allora disse: «Adesso so quanti anni hanno!».

Quanti anni hanno i tre visitatori, il corista e il prete? Questo si può risolvere se usi il ragionamento logico!

Riesci ad arrivarci? Questo è un enigma davvero divertente che ti incoraggio a provare prima di leggere la soluzione.

Per leggere la soluzione non devi far altro che scorrere la pagina un po' più in basso.

Dobbiamo trovare tre numeri il cui prodotto è 2450. Quindi un buon punto di partenza è trovare la fattorizzazione di 2450. Abbiamo:

2450 = 2 × 5² × 7²

Ora dobbiamo trovare tre numeri il cui prodotto è 2450. Se abbiamo due fattori pari a 1, allora il terzo numero deve essere 2450.

1, 1, 2450

Se abbiamo un singolo fattore pari a 1, allora possiamo elencare le coppie di numeri il cui prodotto è 2450. (Poniamo che se un fattore è 2, l'altro fattore sarà 2450/2 = 1225). Ci sono 8 possibilità.

1, 2, 1225
1, 5, 490
1, 7, 350
1, 10, 245
1, 14, 175
1, 25, 98
1, 35, 70
1, 49, 50

Adesso possiamo esaminare i casi in cui il fattore più piccolo è 2, 5 o 7, e possiamo trovare delle triple il cui prodotto è 2450. (In definitiva ogni tripla ha bisogno di un fattore 2, due fattori 5 e due fattori 7, il che restringe le nostre possibilità che non sono troppo difficili da enumerare)

2, 5, 245
2, 7, 175
2, 25, 49
2, 35, 35
5, 5, 98
5, 7, 70
5, 10, 49
5, 14, 35
7, 7, 50
7, 10, 35
7, 14, 25

Per essere sicuri di aver contato tutte le possibilità, possiamo usare uno strumento numerico come WolframAlpha per controllare. La sintassi seguente farà al caso nostro:

solve {a*b*c = 2450, a<=b<=c, a>0, b>0, c>0} over integers

(Dal momento che i numeri rappresentano età umane, potremmo ragionevolmente escludere casi con numeri superiori a 98. Ma per ora li terremo, poiché verranno eliminati comunque)

Adesso troviamo la somma di ciascuna tripla.

1 + 1 + 2450 = 2452
1 + 2 + 1225 = 1228
1 + 5 + 490 = 496
1 + 7 + 350 = 358
1 + 10 + 245 = 256
1 + 14 + 175 = 190
1 + 25 + 98 = 124
1 + 35 + 70 = 106
1 + 49 + 50 = 100
2 + 5 + 245 = 252
2 + 7 + 175 = 184
2 + 25 + 49 = 76
2 + 35 + 35 = 72
5 + 5 + 98 = 108
5 + 7 + 70 = 82
5 + 10 + 49 = 64
5 + 14 + 35 = 54
7 + 7 + 50 = 64
7 + 10 + 35 = 52
7 + 14 + 25 = 46

Il prete spiega che la somma delle età è il doppio dell'età del corista. Il corista quindi risponde che non ci sono ancora informazioni sufficienti.

Dal momento che il corista conosce la propria età, e quindi la somma delle tre età, ciò significa che la somma non è sufficiente per identificare le tre età. In altre parole, la somma corrisponde a due triple differenti.

L'unica somma che è ripetuta è 64, corrispondente a:

5 + 10 + 49 = 64
7 + 7 + 50 = 64

Quindi, come fa il corista a sapere qual è la possibilità corretta?

L'ultimo indizio è sottile. Il prete menziona la sua festa di compleanno dove era ospite il corista. Quindi possiamo dedurre che il corista conosca l'età del prete.

Il prete si domanda quindi se i tre visitatori smetteranno di mangiare la torta quando arriveranno alla sua età, il che implica che sia più vecchio dei tre visitatori.

Il corista quindi esclama di conoscere le età.

Se il prete avesse 51 anni o più, l'indizio non avrebbe rivelato ulteriori informazioni. Quindi possiamo concludere che il prete ha 50 anni – più vecchio di tutti e tre i visitatori – da cui il corista ha potuto concludere che le età sono 5, 10 e 49 anni.

L'età del corista è la metà della somma, quindi lui ha 32 anni.

Così sorprendentemente abbiamo trovato le età di tutte e cinque le persone nella storia! I visitatori hanno 5, 10 e 49 anni; il corista ha 32 anni, e il prete ha 50 anni.

Che enigma grandioso!