Chi arriverà per primo fra Tizio e Caio?

Quest'oggi ti propongo la traduzione di un quesito pubblicato su un blog che ho cominciato a seguire da poco, Mind Your Decisions ossia "presta attenzione alle tue decisioni"; magari dal titolo non è chiaro che si occupa di enigmi logici e matematici, comunque ti assicuro che è davvero interessante. Complimenti al suo autore Presh Talwalkar! :-)

Cosa è più veloce: correre per metà della distanza o per metà del tempo?

Due fratelli, Tizio e Caio [i nomi che ho scelto non saranno un granché... ma sempre meglio rispetto agli originali, A e B! ;-) NdC], hanno la stessa identica velocità nella camminata e la stessa identica velocità nella corsa.
Un giorno cominciano lo stesso tragitto verso lo stesso posto. Tizio cammina per metà della distanza e corre per il resto, mentre Caio cammina per metà del tempo e corre per l'altra metà del tempo.
Quale fratello arriva per primo alla fine del tragitto?

[C'è un video con la soluzione]

Ci sono molti modi per risolvere il problema, e ne presenterò tre.

Metodo 1: Deduzione logica

Tizio corre per metà della distanza, quindi Tizio deve correre per meno della metà del tempo. Questo perché Tizio cammina anche per metà della distanza, e camminare per la stessa distanza richiede più tempo che correre.
Poiché Caio corre per metà del tempo, Caio corre per più tempo e cammina per meno tempo rispetto a Tizio, quindi Caio sarà più veloce e completerà il tragitto per primo.

Metodo 2: Utilizzare numeri concreti

Il problema non specifica distanze o velocità, quindi possiamo fare ricorso alla "licenza poetica" per inventare i valori.
Supponiamo che Tizio cammini per 500 chilometri [nel post originale si usano le miglia, e 1 miglio è pari a 1609 metri, NdC] e poi ne corra altri 500, solo per essere l'uomo che percorre 1000 chilometri per poi crollare davanti alla tua porta.
Immagina che entrambi i fratelli camminino a una velocità di 5 chilometri all'ora e corrano a una velocità di 10 chilometri all'ora.
Tizio completa il tragitto in un tempo totale di:

500/5 + 500/10 = 100 + 50 = 150 ore

Cosa dire di Caio? Dal momento che corre il doppio più veloce di quanto cammina, deve correre il doppio della distanza in modo che il tempo per cui cammina sia uguale al tempo per cui corre. Ciò significa che corre per 1000*2/3 chilometri e cammina per 1000/3 chilometri. Possiamo quindi calcolare il tempo totale che impiega:

(1000/3)/5 + (1000*2/3)/10 = 200/3 + 200/3 = 133 + 1/3 ore

Caio completa il tragitto in meno tempo.

Metodo 3: Dimostrazione formale

Supponiamo che la distanza sia pari a d unità, la velocità di cammino sia pari a w unità/ora, e la velocità di corsa sia pari a r unità/ora.
Sarà utile calcolare la velocità media di ciascun fratello.
Tizio impiega un tempo totale pari a:

(d/2)/w + (d/2)/r = d(r + w)/(2rw)

La velocità media è uguale alla distanza divisa per il tempo, che è quindi:

Velocità media di Tizio = 2rw/(r + w)

Questa è la media armonica delle velocità di cammino e di corsa.
Caio corre per metà del tempo e cammina per metà del tempo, quindi la sua velocità media è la media aritmetica delle velocità:

Velocità media di Caio = (r + w)/2

Ora utilizziamo un fatto ben noto: per due numeri positivi distinti, la media aritmetica è maggiore della media armonica. Ecco dei link che lo dimostrano:

• The Famous RMS-AM-GM-HM Inequality
• Arithmetic Mean Never Less than Harmonic Mean

Di conseguenza Caio ha una velocità media più grande (è più veloce), e completerà il tragitto per primo!

[L'immagine che apre il post è tratta da questo articolo che risponde alla domanda «Correndo si bruciano più calorie che camminando?». SPOILER: a quanto pare la risposta è SÌ]