Numeri, che passione!

Magari non lo do a vedere più di tanto, ma ho una vera e propria passione per i numeri (soprattutto interi) che hanno proprietà particolari. Per questo stasera condivido il testo di un post pubblicato nella pagina Facebook di Storie Scientifiche...

Pensate ad un qualsiasi numero naturale diverso da zero. Se è pari, dividetelo per due, se è dispari moltiplicatelo per tre e aggiungete uno. Da questa operazione, a seconda se il vostro risultato sia un numero pari o dispari, iterate il processo. Indipendentemente dall’intero positivo di partenza scelto, al termine di questa sequenza si arriverà sempre a 1. Sembra un problema all’apparenza banale, niente di strano o incomprensibile dato che entrano in gioco operazioni elementari come la moltiplicazione, l’addizione e la divisione. Eppure da questo semplicissimo enunciato è nato uno dei più difficili problemi dell’aritmetica.

Questo risultato prende il nome di Congettura di Collatz, dal matematico Lothar Collatz che per primo lo introdusse (1937). È anche nota come il problema 3x+1. Paul Erdős, che in linea col suo perfetto stile offrì 500 dollari a chiunque avrebbe dimostrato tale congettura, disse:

“La matematica potrebbe non essere pronta per questo tipo di problemi”.

E non fu il solo ad esprimere perplessità in merito. Jeffrey Lagarias, professore all’Università del Michigan, nel 2010 disse che la Congettura di Collatz “è un problema straordinariamente difficile, completamente fuori dalla portata della matematica odierna”.

Nel 2019 Terence Tao, uno dei matematici più brillanti in circolazione, pubblica una prova a favore della validità di questa congettura o meglio, una “quasi prova”. Infatti il titolo del suo articolo, che compare su arXiv, è intitolato “Almost all orbits of the Collatz map attain almost bounded values“ (Quasi tutte le orbite delle mappa di Collatz raggiungono valori quasi limitati). Per ora, questo è il miglior risultato che si è riusciti ad ottenere e ci dice molto sulla difficoltà di questo tipo di problema.

Nel 2020 si è arrivato a stimare, tramite calcolatori, che la congettura di Collatz è verificata per tutti i valori fino a 2 elevato alle 68. (2^68).

... e illustrato da una vignetta di xkcd...

La congettura di Collatz afferma che se scegli un numero, e se è pari lo dividi per 2 e se è dispari lo moltiplichi per 3 e aggiungi 1, e ripeti questa procedura abbastanza a lungo, alla fine i tuoi amici smetteranno di chiamarti per vedere se vuoi uscire.

... e poi il testo di un post di .mau..

Se prendete la radice cubica di 512, ottenete 8. Se fate la somma delle cifre di 512, ottenete 8. È un caso? Noi di .mau.ager crediamo di no. D’altra parte, possiamo vedere se la cosa è così comune, cercando tutti i numeri con questa caratteristica. Per esempio 0 e 1 hanno come radice cubica sé stessi, e quindi la somma della singola cifra è uguale alla loro radice cubica: ma magari ci sono altri esempi. Come trovarli?

Per prima cosa, notiamo che il numero non può essere troppo grande. Se avesse sette cifre la loro somma sarebbe al più 7×9 = 63, ma 63³ è un numero di sei cifre e quindi non possono esserci numeri di sette (o più) cifre con quella proprietà. Quindi il numero può avere al più sei cifre, ed essere al massimo 6×9 = 54. Basta pertanto testare tutti i numeri da 0 a 54 e vedere quali hanno la proprietà richiesta. Oltre a 0, 1 e 512 abbiamo 4913 = 17³, 5832 = 18³, 17576 = 26³ e 19683 = 27³. Questi sette sono gli unici numeri di Dudeney, dal nome del matematico ricreativo che – almeno in era moderna – è stato il primo a trovarli tutti.

Notate che a parte 8 i numeri sono a coppie di consecutivi: 0-1, 17-18, 26-27. E questo sarà un caso? Beh, mi sa di sì…

Se vuoi saperne di più sui numeri di Dudeney ti rimando alla Wikipedia inglese, visto che su quella italiana non c'è granché.