Un quesito elementare (?)

Dopo quello che ho pubblicato il 30 maggio scorso, torno a condividere un enigma proposto da Presh Talwalkar; in questo caso si tratta della traduzione del post pubblicato il 26 luglio scorso nel suo blog Mind Your Decisions.

Qual è l'area della regione ombreggiata? Il quesito è stato distribuito con la frase «Dovresti essere in grado di risolvere questo problema».

(Diagramma non in scala)

Descritto a parole: comincia con un punto all'interno di un quadrato. Per ciascun lato del quadrato, disegna un segmento di linea fra il punto medio del lato e il punto interno. Questo divide il quadrato in quattro regioni con aree pari a 16, 20, 32 e x (aree elencate in senso orario a partire dalla regione in basso a sinistra). Qual è il valore di x?

Scorri la pagina più in basso per leggere la soluzione...

Ecco il principio fondamentale per risolvere questo problema: due triangoli che hanno base e altezza delle stesse dimensioni avranno la stessa area.

Quindi creiamo dei triangoli!

Collega gli angoli del quadrato al punto all'interno, dividendo il quadrato in 8 triangoli.

Su ciascun lato del quadrato, i due triangoli hanno le stesse dimensioni per la base (metà del lato del quadrato) e le stesse dimensioni per l'altezza (distanza dal punto all'interno del quadrato).

Quindi diciamo che abbiamo triangoli con aree a, b, c e d tali che:

16 è diviso in a e b
20 è diviso in b e c
32 è diviso in c e d
x è diviso in a e d

Da qui possiamo dedurre che la somma delle aree opposte è uguale:

(a + b) + (c + d) = (b + c) + (a + d)

Sappiamo anche che:

a + b = 16
b + c = 20
c + d = 32

Quindi sostituiamo

(a + b) + (c + d) = (b + c) + (a + d)
16 + 32 = 20 + (a + d)
16 + 32 – 20 = 28 = a + d = x

E questa è la risposta! L'area incognita è uguale a 28.

P.S.: Dopo questo, Presh ha riportato un problema nettamente più complesso... ma se devo essere sincera non l'ho neanche preso in considerazione! ;-)