Povera scacchiera...

Con oltre una settimana di ritardo, ti propongo l'enigma pubblicato lunedì 12 ottobre da Alex Bellos nel suo blog Monday Puzzle, con il titolo Can you solve it? Are you smarter than a maths jammer? (Riesci a risolverlo? Sei più intelligente di un maths jammer?). Se ti stai chiedendo cosa sia un maths jammer, lo capirai poco dopo che avrai iniziato a leggere quanto segue.

Quello della scacchiera mutilata è un enigma classico. Ma si può ricavare una soluzione per l'altro problema?
Il nostro maestro di cerimonie è Colin Wright, organizzatore della conferenza annuale MathsJam. Uno degli interessi di Colin sono gli altri enigmi. Vale a dire, altre versioni di enigmi classici.
Puoi avere familiarità con l'enigma della scacchiera mutilata. Oggi Colin ti sfida all'altro enigma della scacchiera mutilata.
Per prima cosa, quello classico. Immagina di avere una scacchiera e 32 tessere da domino. Ciascuna tessera ha esattamente le stesse dimensioni di due caselle adiacenti sulla scacchiera, il che significa che c'è un modo di porre le 32 tessere da domino in modo tale che coprano tutte e 64 le caselle della scacchiera.
Ora mutila la scacchiera tagliando via due caselle agli angoli diagonalmente opposti, come da immagine seguente, e lascia da parte una delle tessere.

È possibile posizionare le 31 tessere sulla scacchiera in modo tale che tutte e 62 le caselle rimanenti siano coperte? Mostra in che modo si può fare, oppure dimostra che è impossibile.
Passiamo adesso all'altro enigma di Colin. Questa volta devi mutilare la scacchiera tagliando via due caselle qualsiasi, una per ciascun colore.
Vale la stessa domanda. È possibile posizionare le 31 tessere sulla scacchiera in modo tale che tutte e 62 le caselle rimanenti siano coperte? Mostra in che modo si può fare, oppure dimostra che è impossibile.

La vuoi, la soluzione? Allora non devi far altro che scorrere la pagina un po' più in basso... :-)

1. La scacchiera alla quale mancano due angoli opposti non può essere coperta con 31 tessere da domino.
   Ciascuna tessera coprirà sempre due caselle adiacenti della scacchiera. Poiché caselle adiacenti hanno colori differenti, ciascuna tessera posta sulla scacchiera deve quindi coprire due colori differenti.
   Immagina che sia possibile coprire la scacchiera mutilata. Tu disponi le tessere e arrivi al punto in cui ci sono solo due caselle libere rimanenti. L'intuizione qui è rendersi conto che queste due caselle rimanenti devono essere dello stesso colore. (Questo perché i due angoli opposti che sono stati tagliati via erano dello stesso colore, quindi la scacchiera mutilata non ha più un egual numero di caselle di ciascun colore.) Se le due caselle rimanenti sono dello stesso colore, esse non sono adiacenti e non possono essere coperte dall'ultima tessera.
2. La scacchiera alla quale mancano due caselle, una di ogni colore, può essere coperta con 31 tessere da domino.
   In primo luogo, considera un percorso attraverso la scacchiera che visita ogni casella una sola volta.
   

   Ecco un possibile percorso attraverso ogni casella. Ce ne sono molti, e sono tutti validi.

   Adesso rimuovi una casella di ciascun colore.
   

   Ho scelto queste due caselle, ma il ragionamento è valido con due caselle qualsiasi di colore differente.

   Quello che hai fatto è stato tagliare il percorso in due pezzi. Ogni percorso deve essere di lunghezza pari, e può quindi essere coperto. Il ragionamento vale per tutti i percorsi e tutte le scelte di due caselle di colore diverso.

Se hai trovato questi problemi troppo facili, Colin Wright ti propone le seguenti sfide extra:

1. Puoi coprire la casella con le tessere se tagli via due caselle di ciascun colore?
2. Puoi coprire la casella con le tessere se tagli via tre caselle di ciascun colore?

In entrambi i casi le caselle rimanenti devono essere collegate, in modo che nessuna casella singola o gruppo di caselle sia tagliato fuori dal resto.
La matematica che c'è dietro è interessante, e Colin ha gentilmente fornito le risposte e una discussione sul suo sito web.